MATERI FAKTORISASI SUKU ALJABAR

A.    PENGERTIAN KOEFISIEN, VARIABEL, KONSTANTA, DAN SUKU

Bonar dan Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli 5 buku tulis, 2 pensil, dan 3 bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan x, pensil dengan y, dan bolpoin dengan z maka Bonar dan Cut Mimi membeli 5x + 2y + 3z.

Selanjutnya, bentuk-bentuk  5x+ 2y + 3z, 2x², 4xy², 5x² – 1, dan (x – 1) (x + 3) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.

1.      Variabel

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... z.

Contoh

Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya.

a.       Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 20.

b.      Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12.

Jawab

a.       Misalkan bilangan tersebut  x dan  x + 2, berarti x + x + 2 = 20.

b.      Misalkan bilangan tersebut x, berarti 5x – 3 = 12.

2.      Konstanta

Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

Contoh

Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut.

a.       2x2 + 3xy + 7x – y – 8

b.      3 – 4x2 – x

Jawab

a.       Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta dari 2x² + 3xy + 7x – y – 8 adalah –8.

b.      Konstanta dari 3 – 4x2 – x adalah 3.

3.      Koefisien

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh

Tentukan koefisien x pada bentuk aljabar berikut.

a.       5x2y + 3x

b.      2x2 + 6x – 3

Jawab

a.       Koefisien x dari 5x2y + 3x adalah 3.

b.      Koefisien x dari 2x2 + 6x – 3 adalah 6.

4.      Suku

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

a.       Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Contoh:  3x, 4a2, –2ab, ...

b.      Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

Contoh: a2 + 2, x + 2y, 3x2 – 5x, ...

c.       Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Contoh:  3x2 + 4x – 5, 2x + 2y – xy, ...

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak atau polinom.

B.     OPERASI HITUNG PADA BENTUK ALJABAR

1.      Penjumlahan dan Pengurangan

Ujang memiliki 15 kelereng merah dan 9 kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan x dan kelereng putih dinyatakan dengan y maka banyaknya kelereng Ujang adalah 15x + 9y. Selanjutnya, jika Ujang diberi kakaknya 7 kelereng merah dan 3 kelereng putih maka banyaknya kelereng Ujang sekarang adalah 22x + 12y. Hasil ini diperoleh dari (15x + 9y) + (7x + 3y).

Amatilah bentuk aljabar 3x² – 2x + 3y + x² + 5x + 10. Suku-suku 3x² dan x² disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku –2x dan 5x. Adapun suku-suku –2x dan 3y merupakan suku-suku tidak sejenis.

Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Contoh 1

Tentukan hasil penjum-lahan 3x² – 2x + 5 dengan x² + 4x – 3.

Jawab

(3x² – 2x + 5) + (x² + 4x – 3) = 3x² – 2x + 5 + x² + 4x – 3

= 3x² + x² – 2x + 4x + 5 – 3  → kelompokkan suku-suku sejenis

= (3 + 1)x² + (–2 + 4)x + (5 – 3)  →  sifat distributif

= 4x² + 2x + 2

Contoh 2

Tentukan hasil pengu-rangan 4y² – 3y + 2 dari 2(5y² – 3).

Jawab

2(5y² – 3) – (4y² – 3y + 2) = 10y² – 6 – (4y² – 3y + 2)

=  10y² – 6 – 4y² + 3y – 2

=  (10 – 4)y² + 3y + (–6 – 2)

=  6y² + 3y – 8

2.      Perkalian

a.      Perkalian suatu b ilangan dengan bentuk aljabar

Jika a, b, dan c bilangan bulat maka berlaku a(b + c) = ab + ac. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.

Perkalian suku dua (ax +  b) dengan skalar/bilangan  k dinyatakan sebagai berikut.

k(ax +  b) =  kax +  kb

Contoh 1

Jabarkan bentuk perkalian berikut.

a.       2(3x – y)

b.      8(–x² + 3x)

Jawab

a.       2(3x – y) = 2 × 3x + 2 × (–y) = 6x – 2y

b.      8(–x² + 3x) = –8x² + 24x

Contoh 2

Selesaikan bentuk perkalian berikut.

a.       2(–6x)

b.      (–4x)(–2y)

c.       (3a)(–3a)

Jawab

a.       2(–6x) = 2  × (–6) × x = –12x

b.      (–4x)(–2y) = (–4) × (–2) × xy = 8xy

c.       (3a)(–3a) = 3 × (–3) × a² = –9a²

b.      Perkalian antara bentuk aljabar dan bentuk aljabar

Telah kalian pelajari bahwa perkalian antara bilangan skalar k dengan suku dua (ax + b ) adalah  k (ax + b) =  kax + kb. Dengan memanfaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua (ax + b) dengan suku dua (ax + d) diperoleh sebagai berikut.

       (ax + b) (cx + d) = ax(cx + d) + b(cx + d)

= ax(cx) + ax(d) + b(cx) + bd

= acx² + (ad + bc)x + bd

Sifat distributif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.

 (ax + b) (cx² + dx + e) =  ax(cx²) + ax(dx) + ax(e) + b(cx²) + b(dx) + b(e)

   =  acx³ + adx² +  aex + bcx² + bdx + be

   =  acx³ + (ad + bc)x² + (ae + bd)x +  be

Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian (ax + b)       (ax + b ), (ax + b)(ax – b ), (ax – b)(ax – b ), dan (ax2 + bx + c)². Pelajari uraian berikut ini.

a.       (ax + b)² = (ax + b)(ax + b)

= ax(ax + b) + b(ax + b)

= ax(ax) + ax(b) + b(ax) + b²

= a²x² + abx + abx + b²

= a²x² + 2abx + b²

b.      (ax + b)(ax – b) = ax(ax – b) + b(ax – b)

= ax(ax) + ax(–b) + b(ax) + b(–b)

= a²x² – abx + abx – b²

= a²x² – b²

c.      (ax + b)² = (ax – b)(ax – b)

= ax(ax – b) –b(ax – b)

= ax(ax) – ax(–b) – b(ax) – b(–b)

= a²x² – abx – abx + b²

= a²x² – 2abx + b²

Contoh

Tentukan hasil perkalian (2x + 3) (x2 + 2x – 5)

Jawab

Cara (i) dengan sifat distributif

(2x + 3) (x² + 2x – 5) = 2x(x² + 2x – 5) + 3(x² + 2x – 5)

= 2x³ + 4x² – 10x + 3x² + 6x – 15

= 2x³ + 4x² + 3x² – 10x + 6x – 15

= 2x³ + 7x² – 4x – 15

Cara (ii) dengan skema

(2x + 3) (x² + 2x – 5) = 2x³ + 4x² – 10x + 3x² + 6x – 15

= 2x³ + 4x² + 3x² – 10x + 6x – 15

= 2x³ + 7x² – 4x – 15

3.      Perpangkatan Bentuk Akar

Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat a, berlaku

Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3x², (3x)², –(3x)², dan (–3x)² sebagai berikut.

a.       3x² = 3 × x × x = 3x²

b.      (3x)² = (3x) × (3x) = 9x²

c.       –(3x)² = –((3x) × (3x)) = –9x²

d.      (–3x)² = (–3x) × (–3x) = 9x²

Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, untuk       (a + b)ⁿ dengan n bilangan asli, dapat disimpulkan koefisien-koefisien (a + b)ⁿ membentuk barisan segitiga Pascal seperti berikut.

Pangkat dari a (unsur pertama) pada (a + b)ⁿ dimulai dari aⁿ kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir  a¹ pada suku ke-n. Sebaliknya, pangkat dari b (unsur kedua) dimulai dengan b¹ pada suku ke-2 lalu bertambah satu demi satu dan terakhir bⁿ pada suku ke-(n + 1). Perhatikan contoh berikut.

Contoh

Tentukan hasil perpangkatan bentuk aljabar (x + 4y)³

Jawab

(x + 4y)³ = 1(x³) + 3(x²)(4y)¹ + 3x(4y)² + 1(4y)³

=1x³ + 3x²(4y) + 3x(16y²) + 1(64y³)

= x³ + 12x²y + 48xy² + 64y

4.      Pembagian

Telah kalian pelajari bahwa jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi     a = p × q dengan a, p, q bilangan bulat maka p dan q disebut faktor-faktor dari a. Hal tersebut berlaku pula pada bentuk aljabar.

Perhatikan uraian berikut.

Pada bentuk aljabar di atas, 2,  x², y, dan z² adalah faktor-faktor dari 2x²yz², sedangkan  x³, y², dan  z adalah faktor-faktor dari bentuk aljabar x³y²z. Faktor sekutu (faktor yang sama) dari 2x²yz² dan x³y²z adalah x²,y,dan z, sehingga diperoleh

Berdasarkan uraian di atas dapat kita simpulkan bahwa jika dua bentuk aljabar memiliki faktor sekutu yang sama maka hasil bagi kedua bentuk aljabar tersebut dapat ditulis dalam bentuk yang lebih sederhana. Dengan demikian, pada operasi pembagian bentuk aljabar kalian harus menentukan terlebih dahulu faktor sekutu kedua bentuk aljabar tersebut, kemudian baru dilakukan pembagian.

Contoh

Sederhanakan bentuk aljabar berikut.

1.        5xy : 2x

2.        6x³ : 3x²

3.        8a²b³ : 2ab

4.        (p²q × pq) :  p²q²

Jawab

C.    PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR

Dari bentuk di atas, tampak bahwa bentuk penjumlahan dapat dinyatakan sebagai bentuk perkalian jika suku-suku dalam bentuk penjumlahan tersebut memiliki faktor yang sama. Dari bentuk ax + ay = a(x + y), a dan (x + y) merupakan faktor-faktor dari ax + ay.

Proses menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian faktor-faktornya disebut pemfaktoran atau faktorisasi.

Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut.

Sekarang, kalian akan mempelajari faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar. Perhatikan uraian berikut.

1.      Bentuk ax + ay + az + ... dan ax + bx – cx

Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku atau lebih dan memiliki faktor sekutu dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif.

ax + ay + az + ... = a(x + y + z + ...)

ax + bx – cx = x(a + b – c)

Contoh

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut.

a.       2x + 2y

b.      x² + 3x

c.       a² +  ab

d.      pq²r³ + 2p²qr + 3pqr

Jawab

a.       2x + 2y memiliki faktor sekutu 2, sehingga 2x + 2y = 2(x + y).

b.      x² + 3x memiliki faktor sekutu x, sehingga x² + 3x = x(x + 3).

c.       a² + ab memiliki faktor sekutu a, sehingga a² + ab =  a(a + b).

d.      pq²r³ + 2p²qr + 3pqr memiliki faktor sekutu pqr, sehingga

pq²r³ + 2p²qr + 3pqr =  pqr(qr² + 2p + 3).

2.      Bentuk Selisih Dua Kuadrat x² – y²

Bentuk aljabar yang terdiri atas dua suku dan merupakan selisih dua kuadrat dapat dijabarkan sebagai berikut.

Dengan demikian, bentuk selisih dua kuadrat x² – y² dapat dinyatakan sebagai berikut.

Contoh

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut.

Jawab

3.      Bentuk x² + 2xy + y² dan  x² – 2xy + y²

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar  x² + 2xy + y² dan x² – 2xy + y² perhatikan uraian berikut.

Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

x² + 2xy + y² = (x + y)(x + y) = (x + y)²

x² – 2xy + y² = (x – y)(x – y) = (x – y)²

Contoh

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.

a.       p² + 2pq + q²

b.      x² – 4x + 4

Jawab

4.      Bentuk ax² + bx + c dengan  a = 1

Pada pembahasan di depan telah kalian pelajari mengenai perkalian antara suku dua dan suku dua sebagai berikut.

Sebaliknya, bentuk suku tiga x² + 5x + 6 apabila difaktorkan menjadi

Perhatikan bahwa bentuk aljabar x² + 5x + 6 memenuhi bentuk                 x² + bx + c.

Berdasarkan pengerjaan di atas, ternyata untuk memfaktorkan bentuk      x² + bx + c dilakukan dengan cara mencari dua bilangan real yang hasil kalinya sama dengan c dan jumlahnya sama dengan b.

5.      Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0

Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut.

Perhatikan bahwa (9 + 8) = 17 dan 9 × 8 = 12 × 6.

Berdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0 dapat difaktorkan dengan cara berikut.

ax² + bx + c = ax² + px + qx + c

dengan p × q = a × c dan p + q = b

Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax² + bx + c dengan a ≠ 1. Perhatikan uraian berikut.

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa m × n = a × c dan m + n = b.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar ax² + bx + c  dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

a.      Menggunakan sifat distributif

b.      Menggunakan Rumus

D.    OPERASI PADA PECAHAN BENTUK ALJABAR

1.      Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Aljabar

Adapun pada penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut berbeda dapat dilakukan dengan cara menyamakan penyebutnya terlebih dahulu menjadi kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebutnya.

Contoh

Selesaikan operasi penjum-lahan atau pengurangan berikut.

Jawab

2.      Perkalian dan Pembagian Pecahan Aljabar

Perkalian antara dua pecahan dapat dilakukan dengan mengalikan antara  pembilang dengan  pembilang dan  penyebut dengan penyebut.

Pembagian antara dua pecahan aljabar dilakukan dengan mengubah bentuk pembagian menjadi bentuk perkalian dengan cara mengalikan dengan kebalikan pecahan pembagi.

Contoh

Selesaikan operasi perkalian berikut.

Jawab

3.      Menyederhanakan Pecahan Aljabar

Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1. Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar.

Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.

Contoh

Selesaikan pembagian pecahan aljabar berikut.

Jawab

4.      Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)

Pecahan bersusun (kompleks)  adalah suatu pecahan yang pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPK dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada penyebut pecahan bersusun.

Contoh

Sederhanakan pecahan.

Jawab

DAFTAR PUSTAKA

Nuharini, Dewi dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya: untuk SMP/MTs Kelas VIII. Depdiknas. Jakarta.